Google Treasure Hunt 4

O Google resolveu disponibilizar uma espécie de competição, onde são propostos problemas e pede-se a solução deles, cujas respostas sugerem (na verdade, praticamente obrigam) a aplicação de algum recurso computacional. Até onde eu sei, os problemas são únicos para cada candidato, o que inviabiliza qualquer tentativa de “trabalho em conjunto”. Chama-se de “Google Treasure Hunt 2008” [http://treasurehunt.appspot.com/]. O conjunto de problemas apresentado (atualmente, contando com apenas 4) assemelha-se aos vistos em outros campeonatos de programação, como o International Collegiate Programming Contest (ICPC), da Association for Computing Machinery (ACM) [www.acm.org]. Resolvi o último desses problemas (o quarto), e detalho aqui como cheguei à solução.

O problema proposto foi o seguinte:

“Find the smallest number that can be expressed as

the sum of 11 consecutive prime numbers,

the sum of 25 consecutive prime numbers,

the sum of 513 consecutive prime numbers,

the sum of 1001 consecutive prime numbers,

the sum of 1129 consecutive prime numbers,

and is itself a prime number.

For example, 41 is the smallest prime number that can be expressed as

the sum of 3 consecutive primes (11 + 13 + 17 = 41) and

the sum of 6 consecutive primes (2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41).”

Para solucionar o problema proposto, resolvi utilizar a linguagem de programação C++, pelos recursos que a STL oferece (estruturas como set’s, vector’s, operações sobre conjuntos, etc.). Antes de tudo, o grande problema foi o de gerar os números primos. De modo que o problema não se refere a um limite razoável para a quantidade de números primos que a solução envolva, gerar uma tabela com todos os números primos até o limite considerável de 100.000, por exemplo, resolvi obter uma listagem pronta com o todos os números primos abaixo de 100 mil [http://members.aol.com/MICRO46/primes_1.zip], um total de exatamente 78498 primos. A razão de usar uma tabela pronta foi que o método que eu estava usando para gerar essa lista de primos demorava algo em torno de 4 minutos... Posteriormente, otimizei o procedimento para durar menos de 0,5 segundos, e gerei o resultado em disco. Contudo, quem não tiver afim de gerar essa quantidade de primos, esses arquivos prontos são uma mão na roda. Com o conjunto de primos em mãos, apliquei o procedimento seguinte:

1) Calcular as somas dos números primos em cada um dos intervalos (11, 25, 513, 1001, 1129) – isso implica em somar os primos em todos os subintervalos de tamanho 11, por exemplo, dentro do conjunto de primos, o que gerou uma seqüência de 78488 intervalos de tamanho 11, até 77.370 subintervalos de tamanho 1129;

2) Fazer uma intersecção de conjuntos, 2 a 2, com os conjuntos resultantes da operação acima (por exemplo, as somas de todos os subintervalos de tamanho 11 geram um conjunto) – o objetivo é obter as somas que são comuns entre esses conjuntos de somatórios de primos;

3) Ordenar o conjunto intersecção resultante e mostrar o primeiro valor (ou seja, o menor).

Para as etapas 1 e 2, o método que usei foi o seguinte:

void

sum_subintervals(const vector<long>& primes, unsigned long max,

set<long>* pivot)

{

unsigned long soma = 0, j = 0, old_sum = 0;

set<long> sums;

for (j = 0; j <>

{

soma += primes.at(j);

} // for

sums.insert(soma);

while ( (j <>

{

old_sum = soma;

soma = old_sum - primes.at(j-max) + primes.at(j);

++j;

sums.insert(soma);

}

set<long> s;

if (pivot->size() != 0)

{

set_intersection(sums.begin(), sums.end(), pivot->begin(),

pivot->end(), inserter(s, s.end()) );

pivot->clear();

copy(s.begin(), s.end(), inserter(*pivot, pivot->begin()));

}

else

{

copy( sums.begin(), sums.end(), inserter(*pivot, pivot->end()) );

}

}

O código é pouco óbvio, mas eu explico: o que ele faz é pegar intervalos de um certo tamanho (11, 25, 513, etc.) e somar os elementos nesse intervalo. Uma solução bastante elementar seria tentar somar diretamente todos os valores, e fazer isso para cada intervalo. Computacionalmente, no entanto, esse método repete desnecessariamente operações de soma (a maior parte dos elementos seriam somados duplicados entre subintervalos consecutivos). Foi exatamente nessas somas supérfluas que o algoritmo que eu fiz gerou otimizações. Por exemplo, o primeiro subintervalo de tamanho 11 é o seguinte:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}

O próximo subintervalo é assim:

{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

Qual a diferença entre os 2? No segundo, inseriu-se o 37 e removeu-se o 2. De forma geral, cada subintervalo adiciona à seqüência anterior o próximo elemento primo, e remove o primeiro elemento da sequência anterior do resultado. Aplicando esse método iterativamente, foi possível reduzir a complexidade da solução de uma exponencial (em função do quadrado do conjunto de primos) para uma solução linear, com o esforço de execução variando apenas sobre o tamanho da tabela de primos.

Pra finalizar, a parte mais simples do código apenas mostra o algoritmo acima rodando em cima de cada constante do problema:

set<long> all_sums;

int nums[5] = { 11, 25, 513, 1001, 1129 };

int i;

for (i = 0; i < 5; i++)

{

sum_subintervals(primes, nums[i], &all_sums);

}

if (all_sums.size() > 0)

cout << "Solution: " << *(all_sums.begin()) << endl;

Nem precisei ordenar o conjunto resultante, porque a classe template “set” da Standard Template Library já adiciona os elementos em ordem na estrutura. Quando tudo dá certo, na submissão aparece isso:

Correct answer: XXXXXXXXXX
Your answer was: Correct

Your answer was correct! Congratulations, you're part-way there.
There will more questions over the coming weeks, and the first person to answer them all correctly will win a prize, so keep trying!

Boa sorte!